Metode Simpleks
(Sumber : Siringoringo, 2005)
Pengantar
Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang
digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode
simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi
optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara
perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks
dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya
tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1).
Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan
dalam metode simpleks, diantaranya :
- Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai
dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.
- Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi
nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non
basis selalu sama dengan derajat bebas
dalam sistem persamaan.
- Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol
pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan
variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau
variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum,
jumlah variabel basis selalu sama
dengan jumlah fungsi
pembatas (tanpa fungsi non negatif).
- Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas
yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan
jumlah sumber daya pembatas awal
yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.
- Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model
matematik kendala untuk mengkonversikan
pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini
terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan
berfungsi sebagai variabel basis.
- Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk
mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi
persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi
awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.
- Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model
matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai
variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap
inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena
kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.
- Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel
masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk
menentukan baris pivot (baris kerja).
- Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara
variabel basis yang memuat variabel keluar.
- Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada
perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar
perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.
- Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi
variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari
antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi
berikutnya akan bernilai positif.
- Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel
basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel
keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iiterasi.
Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.
BENTUK BAKU
Sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk
menentukan solusi optimal, pertama sekali bentuk umum pemrograman linier
dirubah ke dalam bentuk baku terlebih dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks
tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan, tetapi
setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel
basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada aktivitas
yang dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan semuanya masih bernilai
nol. Dengan demikian, meskipun fungsi kendala pada bentuk umum pemrograman
linier sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap
berubah.
Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku, yaitu :
- Fungsi
kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, dirubah menjadi
persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack.
- Fungsi
kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi
persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus.
- Fungsi
kendala dengan persamaan dalam benttuk umum,ditambahkan satu artificial
variabel (variabel buatan).
Perhatikan kasus A berikut :
Fungsi tujuan :
minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2
Kendala :
x1 +
x2 = 90
0.001 x1 +
0.002 x2 ≤ 0.9
0.09 x1 +
0.6 x2 ≥ 27
0.02 x1 +
0.06 x2 ≤ 4.5
x1, x2
≥ 0
Bentuk di atas adalah bentuk umum pemrograman liniernya. Kedalam bentuk
baku, model matematik tersebut akan berubah menjadi :
Fungsi tujuan :
minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2
Kendala :
x1 + x2 + s1
= 90
0.001 x1 + 0.002 x2 +
s2 = 0.9
0.09 x1 + 0.6 x2 – s3
+ s4 = 27
0.02 x1 + 0.06 x2 + s5
= 4.5
x1, x2 , s1,
s2, s3, s4, s5 ≥ 0
Fungsi kendala pertama
mendapatkan variable buatan (s1), karena bentuk umumnya sudah
menggunakan bentuk persamaan. Fungsi kendala kedua dan keempat mendapatkan variabel slack (s2 dan
s5) karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan ≤, sedangkan fungsi kendala
ketiga mendapatkan variabel surplus (s3) dan variabel buatan (s4)
karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan ≥.
Perhatikan pula kasus B berikut ini :
Maksimumkan z = 2x1
+ 3x2
Kendala :
10 x1 + 5 x2
≤ 600
6 x1 + 20 x2
≤ 600
8 x1 + 15 x2
≤ 600
x1, x2 ≥
Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum. Perubahan ke dalam bentuk baku
hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi kendala menggunakan
bentuk pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umumnya. Maka bentuk bakunya adalah
sebagai berikut :
Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2
+ 0s3
Kendala :
10 x1 + 5 x2 + s1 = 600
6 x1 + 20 x2 + s2 = 600
8 x1 + 15 x2 + s3 = 600
x1,
x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0
s1 , s2 , s3
merupakan variable slack.
PEMBENTUKAN TABEL SIMPLEKS
Dalam perhitungan iterative, kita akan bekerja menggunakan tabel. Bentuk
baku yang sudah diperoleh, harus dibuat ke dalam bentuk tabel.
Semua variabel yang bukan variabel basis mempunyai solusi (nilai kanan)
sama dengan nol dan koefisien variabel basis pada baris tujuan harus sama
dengan 0. Oleh karena itu kita harus membedakan pembentukan tabel awal
berdasarkan variabel basis awal. Dalam sub bab ini kita hanya akan
memperhatikan fungsikendala yang menggunakan variabel slack dalam bentuk
bakunya, sedangkan yang menggunakan variabel buatan akan dibahas pada sub bab
lainnya.
Gunakan kasus B di atas, maka tabel awal simpleksnya adalah :
VB
|
X1
|
X2
|
S1
|
S2
|
S3
|
solusi
|
Z
|
-2
|
-3
|
0
|
0
|
0
|
0
|
S1
|
10
|
5
|
1
|
0
|
0
|
600
|
S2
|
6
|
20
|
0
|
1
|
0
|
600
|
S3
|
8
|
15
|
0
|
0
|
1
|
600
|
LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN
Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut :
- Periksa
apakah tabel layak atau tidak. Kelayakan tabel simpleks dilihat dari
solusi (nilai kanan). Jika solusi ada yang bernilai negatif, maka tabel
tidak layak. Tabel yang tidak layak tidak dapat diteruskan untuk
dioptimalkan.
- Tentukan
kolom pivot. Penentuan kolom pivot dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai
di sebelah kanan baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Jika tujuan
maksimisasi, maka kolom pivot
adalah kolom dengan koefisien paling negatif. Jika tujuan minimisasi
, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien positif terbesar. Jika
kolom pivot ditandai dan ditarik ke atas, maka kita akan mendapatkan
variabel keluar. Jika nilai paling negatif (untuk tujuan maksimisasi) atau
positif terbesar (untuk tujuan minimisasi) lebih dari satu, pilih salah
satu secara sembarang.
- Tentukan
baris pivot. Baris pivot ditentukan setelah membagi nilai solusi dengan
nilai kolom pivot yang bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris).
Dalam hal ini, nilai negatif dan 0 pada kolom pivot tidak diperhatikan,
artinya tidak ikut menjadi pembagi. Baris pivot adalah baris dengan rasio
pembagian terkecil. Jika baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka
kita akan mendapatkan variabl keluar. Jika rasio pembagian terkecil lebih
dari satu, pilih salah sau secara sembarang.
- Tentukan
elemen pivot. Elemen pivot merupakan nilai yang terletak pada perpotongan
kolom dan baris pivot.
- Bentuk
tabel simpleks baru. Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama sekali
menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot baru adalah baris pivot
lama dibagi dengan elemen pivot. Baris baru lainnya merupakan pengurangan
nilai kolom pivot baris yang bersangkutan dikali baris pivot baru dalam
satu kolom terhadap baris lamanya yang terletak pada kolom tersebut.
- Periksa
apakah tabel sudah optimal. Keoptimalan tabel dilihat dari koefisien
fungsi tujuan (nilai pada baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan.
Untuk tujuan maksimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris
z sudah positif atau 0. Pada tujuan minimisasi, tabel sudah optimal jika
semua nilai pada baris z sudah negatif atau 0. Jika belum, kembali ke
langkah no. 2 , jika sudah optimal baca solusi optimalnya.
